Question

【題目】如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）為的中點(diǎn).

【解析】

（1）由幾何體的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的判定定理，證得平面，得到，進(jìn)而得到，再由四邊形為正方形，所以，最后利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.

（2）取的中點(diǎn)，分別連接，，，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定和性質(zhì)，即可求解.

（1）由題意，三棱柱為直三棱柱，所以，

又因?yàn)?/span>，，平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

在中，，，，所以，

又因?yàn)?/span>，所以四邊形為正方形，所以.

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面.

（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面.

證明如下：取的中點(diǎn)，分別連接，，，

所以，分別為，的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>，分別是直三棱柱側(cè)棱，的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

又∵，平面，平面，所以平面平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面.