Question

 已知雙曲線的左、右兩個焦點分別為，，動點滿足.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設過點且不垂直于坐標軸的動直線交軌跡于、兩點，試問在軸上是否存在一點使得以、為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，試判斷點的活動范圍；若不存在，試說明理由.

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（1）雙曲線的方程可化為，則，，所以點的軌跡是以、為焦點且長軸長為4的橢圓，其方程為.………………………………………………………………（4分）

（2）假設存在滿足條件的點，設直線的方程為，代入橢圓方程得.設，由韋達定理得，.……………………（6分）

，，，

又.

因為以、為鄰邊的平行四邊形為菱形，所以，

，即，整理得，

，.………………………………（8分）

若，則（當且僅當時取等號），即；

若，則（當且僅當時取等號），即.

綜上可得，滿足條件的點存在，其活動范圍是軸上滿足且的區域.…………………………………………………………………………（10分）