Question

（本小題滿分12分）已知函數，且 
（1）判斷的奇偶性，并證明；
（2）判斷在上的單調性，并證明；
（3）若，求的取值范圍。

Answer 1

(1) 為奇函數，見解析；（2）在上的單調遞增，證明：見解析；
（3）。

本試題主要是考查了函數奇偶性和函數的單調性的綜合運用。
（1），且
∴ ，解得 ，根據奇偶性的定義得到奇函數的證明。
(2) ∵ ，由（2）知在上的單調遞增
又，即，所以可知
又由的對稱性可知 時，同樣成立，命題得證。
解 ∵ ，且
∴ ，解得 …………………1分
(1) 為奇函數，…………………………………..2分
證：∵ ，定義域為，關于原點對稱………………..3分
又
所以為奇函數………………………………4分
（2）在上的單調遞增………………………………..5分
證明：設，
則……………………7分
∵
∴  ，
故，即，在上的單調遞增  …………9分
（3）解法一
若 ，即，顯然 ，
化簡得，解得………………………..12分
解法二、∵ ，由（2）知在上的單調遞增
又，即，所以可知
又由的對稱性可知 時，同樣成立 ∴