Question

已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+bx+5，
（1）若曲線y=f(x)在x=1處的切線的方向向量為（-2，-6），且函數(shù)在x=時有極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，若函數(shù)y=f(x)在[-3，1]上與y=m²-2m+13有兩個不同的交點，若g(x)=x²-2mx+1在區(qū)間[1，2]上的最小值，求實數(shù)m的值。

Answer 1

解：(1)∵f(x)=x³+ax²+bx+5，
∴f′(x)=3x²+2ax+b，
由已知f(x)在x=1處的切線斜率為=3，
∴，
∴a=2，b=-4，
∴f(x)=x³+2x²-4x+5，f′(x)=3x²+4x-4，
令f′(x)＞0得x＜-2 或x＞，
令f′(x)＜0得-2＜x＜，
∴f(x)在(-∞，-2)，(，+∞)上分別是增函數(shù)，f(x)在(-2，)上是減函數(shù)。
(2)由(1)可知，y=f(x)在x=-2時取得極大值，f(-2)=13，且f(-3)=8，f(-1)=4，
∴，
又g(x)=x²-2mx+1=(x-m)²+1-m²，
當0＜m＜1時，g(x)在[1，2]上的最小值為g(1)=2-2m=-，∴m=，與0＜m＜1矛盾；
②當1≤m＜2時，g(x)在[1，2]最小值為g(m)=1-m²=-，
∴m=或m=-（舍去）；
綜上可知，m=。