Question

【題目】已知函數存在唯一極值點。

（I）求的取值范圍；

（II）證明：函數與的值域相同。

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可得： ， ，

分類討論：當時， 在內有唯一極值點；

當時，若， 無極值點，若， 有兩個極值點，不合題意；則；

(Ⅱ)由（Ⅰ）知， ，設，則在上單減，在上單增， 的值域為，則原問題等價于，即，整理變形為，導函數單增，則原問題等價于，據此命題得證.

試題解析：

（Ⅰ）， ，當時， ，

故在上單調遞增，又時， ， ，

故在內有唯一實根，即在內有唯一極值點；

當時，由得，故在上單增，在上單減，

若則恒成立，此時無極值點，若，

又時， 時，此時有兩個極值點；

綜上， ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，設即，

則在上單減，在上單增， 的值域為，

要使與的值域相同，只需，即，

即，又，故即，

故只需證，又單增，所以要證即證，

而，故得證.