Question

設f（x）=ax³+bx²+cx（a＞b＞c），已知函數f（x）在x=1處取得極值，且曲線f（x）在x=t處的切線斜率為-2a．
（1）求

c

a

的取值范圍；
（2）若函數f（x）的單調遞減區間為[m，n]，求|m-n|的最小值；
（3）判斷曲線f（x）在x=t-

8

3

處的切線斜率的正負，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數f′（x），因為f（x）在x=1處取得極值，所以f′（1）=0得到a與b的關系式，由a＞b＞c變形可得

c

a

的范圍記作①，又根據曲線在x=t的斜率為-2a，可得f′（t）=-2a，得到關于t的一元二次方程，根據△大于等于0列出a與c的不等式，變形可得

c

a

的范圍記作②，求出①②的交集即可得到

c

a

的范圍；
（2）由f′（1）=0得到f′（x）=0有一根為1，設出另一根，根據韋達定理可表示出另一根，根據（1）求出的范圍求出另一根的范圍，由二次函數的性質可知a大于0，令導函數小于0的不等式的解集應該為x大于另一根小于1，所以|m-n|就等于1減另一根，求出1-另一根的范圍，由范圍即可得到|m-n|的最小值；
（3）根據x的范圍討論導函數的正負即可得到函數的單調區間，然后判斷t-

8

3

的范圍，即可得到其對應的導函數大于0，即切線的斜率f′（t-

8

3

）大于0，所以曲線f（x）在x=t-

8

3

處的切線斜率為正．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx+c，
由f（x）在x=1處取得極值，得f'（1）=0，即3a+2b+c=0，
由a＞b＞c知：a＞0，c＜0．
由2a＞2b=-3a-c＞2c，得-5＜

c

a

＜-1①．
曲線f（x）在x=t處的切線斜率為-2a，得f'（t）=-2a，即3at²+2bt+c+2a=0．
由△=4b²-12a（c+2a）≥0，將2b=-3a-c代入，得c²-6ac-15a²≥0，
即(

c

a

)2-6•

c

a

-15≥0，解得：

c

a

≤3-2

6

或

c

a

≥3+2

6

②．
由①②聯立得

c

a

的取值范圍是(-5，3-2

6

]；
（2）由f'（1）=0知：方程f'（x）=0即3ax²+2bx+c=0的一根為1，設另一根為x₀，則
由韋達定理，得x0=

c

3a

∈(-

5

3

，

3-2 6

3

]．
由a＞0，令f'（x）=3ax²+2bx+c＜0，得x₀＜x＜1，則[m，n]=[x₀，1]，從而|m-n|=1-x0∈[

2 6

3

，

8

3

)，
故|m-n|的最小值為

2 6

3

；
（3）由a＞0知，當x₀＜x＜1時f'（x）＜0；當x＜x₀或x＞1時f'（x）＞0．
而f'（t）=-2a＜0，則x₀＜t＜1，于是t-

8

3

＜-

5

3

＜x0，故f′(t-

8

3

)＞0，即
曲線f（x）在x=t-

8

3

處的切線斜率為正．

點評：本題是一道從三個“二次”即二次函數、二次方程和二次不等式的相互關系演變而來的代數推理題．三次函數與二次函數聯系緊密，因為將三次函數求導就轉化為二次函數．此題以導數的幾何意義為載體，巧妙地將導數與函數、方程與不等式等知識綜合交匯在一起，對邏輯推理能力的考查達到極致，確實是一道好題．