Question

【題目】如圖所示，已知四棱錐的底面為矩形， 底面，且（），， 分別是， 的中點．

（1）當為何值時，平面平面？并證明你的結論；

（2）當異面直線與所成角的正切值為2時，求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先利用分析法確定值，再利用綜合法證明：取的中點，根據平幾知識得四邊形是平行四邊形，即得．由條件得平面，因此平面.即得平面平面.（2）因為，所以即為異面直線與所成的角，根據異面直線與所成角的正切值為2，解得，最后根據三棱錐體積公式求體積.

試題解析：解:（1）當時，平面平面．

取的中點，連接， ．

∵， 分別是， 的中點，

∴ ，

又∵， 是的中點，

∴ ，∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．①

∵，∴．

∵平面，∴，

又，∴平面，

∴．

又，∴平面．②

由①②，得平面.

又平面，

∴平面平面.

（2）∵，

∴即為異面直線與所成的角，

即，

∴，

則．