Question

（06年湖北卷文）（12分）

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點，N是側棱CC₁上的點，且CN＝2C₁N.

（Ⅰ）求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；

（Ⅱ）求點B₁到平面AMN的距離。

Answer 1

解析：解法1：（Ⅰ）因為M是底面BC邊上的中點，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，從而AMM, AMNM，所以MN為二面角，―AM―N的平面角。又M=,MN=,

      

 

連N，得N＝，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）過在面內作直線，為垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即為到平面AMN的距離。在中，H＝M。故點到平面AMN的距離為1。

解法2：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則（0，0，1），M（0，，0）,

C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，

，,。

因為

所以,同法可得。

故為二面角―AM―N的平面角

∴＝

故所求二面角―AM―N的平面角的余弦值為。

（Ⅱ）設n=(x,y,z)為平面AMN的一個法向量，則由得

 故可取

設與n的夾角為a，則。

所以到平面AMN的距離為。