Question

已知某二次函數(shù)f（x）圖象過(guò)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)（-1，-5）和（2，4）兩點(diǎn)，
（Ⅰ）試求f（x）函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間[3，7]上的單調(diào)性，并用單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明．

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)閒（x）過(guò)原點(diǎn)，設(shè)f（x）=ax²+bx，
由題意，圖象經(jīng)過(guò)（-1，-5）和（2，4）兩點(diǎn)∴

a-b=-5 4a+2b=4

解得：

a=-1 b=4

f（x）=-x²+4x
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[3，7]上為單調(diào)遞減函數(shù)
證明：任取x₁＜x₂∈[3，7]f（x₁）-f（x₂）=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂）=（x₂²-x₁²）+（4x₁-4x₂）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+4（x₁-x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）x₁＜x₂∈[3，7]，x₂+x₁＞6，x₂-x₁＞0∴（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）＞f（x₂），而x₁＜x₂∈[3，7]∴函數(shù)f（x）在[3，7]上為單調(diào)遞減函數(shù)