Question

如圖，實線部分DE，DF，EF是某風景區設計的游客觀光路線平面圖，其中曲線部分EF是以AB為直徑的半圓上的一段弧，點O為圓心，△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，其中AB=2千米，∠EOA=∠FOB=2x(0＜x＜

π

4

)．若游客在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應的線段或弧的長度成正比，且“留戀度”與路線DE，DF的長度的比例系數為2，與路線EF的長度的比例系數為1，假定該風景區整體的“留戀度”y是游客游覽所有路線“留戀度”的和．
（I）試將y表示為x的函數；
（II）試確定當x取何值時，該風景區整體的“留戀度”最佳？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由弧長公式求出弧AE與BF的長度，由圓的周長公式求出半圓的長度，則弧EF的長度可求，連結OD后，在三角形ODE和三角形ODF中，利用余弦定理可求DE和DF的長度，然后根據游客在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應的線段或弧的長度成正比，且“留戀度”與路線DE，DF的長度的比例系數為2，與路線EF的長度的比例系數為1，該風景區整體的“留戀度”y是游客游覽所有路線“留戀度”的和將y表示為x的函數；
（Ⅱ）求出（Ⅰ）中函數的導函數，解出導函數的零點，由零點把定義域分段，根據導函數的符合判斷原函數在各段內的單調性，從而得到極值點，確定出當x取何值時，該風景區整體的“留戀度”最佳．

解答：解：（Ⅰ）因為OA=

1

2

AB=1，∠EOA=∠FOB=2x，所以弧AE等于弧BF的長等于2x，
又半圓周長為π，所以弧EF的長為π-4x，連結OD，則由OD=OE=OF=1，∠FOD=∠EOD=

π

2

+2x，
所以DE=DF=

1+1-2cos(2x+ π 2 )

=

2+2sin2x

=

2

(sinx+cosx)．
又因為在每條路線上游覽的“留戀度”均與相應的線段或弧的長度成正比，且“留戀度”與路線DE，DF的長度的比例系數為2，與路線EF的長度的比例系數為1，
所以，y=4

2

(sinx+cosx)+π-4x （0＜x＜

π

4

）；
（Ⅱ）由y=4

2

(sinx+cosx)+π-4x （0＜x＜

π

4

），
得：y′=4

2

(cosx-sinx)-4，
由y^′=0，得：4

2

(cosx-sinx)-4=0，
所以cos(x+

π

4

)=

1

2

，解得x=

π

12

．
又當x∈(0，

π

12

)時，y^′＞0，所以此時y在(0，

π

12

)上單調遞增，
當x∈(

π

12

，

π

4

)時，y^′＜0，所以此時y在(

π

12

，

π

4

)上單調遞減，
故當x=

π

12

時，函數y有最大值，
答：當x=

π

12

時，該風景區整體的“留戀度”最佳．

點評：本題是一個數學建模問題，解答的關鍵是讀懂題意，正確列出函數表達式，然后利用導數求函數在開區間內的極值，進一步得到函數在閉區間內的最值．此題屬中檔題．