Question

己知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2．若同時滿足條件：
（1）?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0：
（2）?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＞0．
則實數m的取值范圍是

（-4，-2）

．

Answer 1

分析：由（1）可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立，建立關于m的不等式組可得m的范圍，然后由（2）可得：?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，結合函數y=（x-2m）（x+m+3）的圖象可得：2m＜-4，解之可得m的另一個范圍，取交集即可．

解答：解：∵g（x）=2^x-2，當x≥1時，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時恒成立
所以二次函數圖象開口只能向下，且與x軸交點都在（1，0）的左側，
即

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，解得-4＜m＜0；
又因為?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
而此時有g（x）=2^x-2＜0．
∴?x∈（-∞，-4），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-4），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故m滿足

m＜0 2m＜-(m+3) 2m＜-4 -(m+3)＜1

或

m＜0 2m＞-(m+3) 2m＜1 -(m+3)＜-4

，
解第一個不等式組得-4＜m＜-2，第二個不等式組無解．
綜上可得m的取值范圍是：（-4，-2）
故答案為：（-4，-2）．

點評：本題為二次函數和指數函數的綜合應用，涉及數形結合的思想，屬中檔題．解題時要認真審題，仔細解答．