Question

選修4--4；坐標系與參數方程
已知動點P，Q都在曲線C：

x=2cosβ y=2sinβ

(β為參數)上，對應參數分別為β=α與β=2α（0＜α＜2π），M為PQ的中點．
（Ⅰ）求M的軌跡的參數方程
（Ⅱ）將M到坐標原點的距離d表示為a的函數，并判斷M的軌跡是否過坐標原點．

Answer 1

分析：（I）根據題意寫出P，Q兩點的坐標：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中點坐標公式得PQ的中點M的坐標，從而得出M的軌跡的參數方程；
（II）利用兩點間的距離公式得到M到坐標原點的距離d=

x2+y2

=

2+2cosα

，再驗證當α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標原點．

解答：解：（I）根據題意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
∵M為PQ的中點，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），
∴求M的軌跡的參數方程為：

x=cosα+cos2α y=sinα+sin2α

（α為參數，0＜α＜2π）．
（II）M到坐標原點的距離d=

x2+y2

=

2+2cosα

（0＜α＜2π）．
當α=π時，d=0，故M的軌跡過坐標原點．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，兩點間的距離公式的應用，軌跡方程，屬于基礎題．