Question

已知命題p：對m∈[-1，1]，不等式a2-5a+3≥

m2+8

恒成立；命題q：方程x²+ax+4=0在實數集內沒有解；若p和q都是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：通過求函數的最值解決不等式恒成立，求出命題p為真時a的范圍；利用二次方程根的判斷是通過判別式求出命題q為真a的范圍；求出兩個命題全真時a的范圍．

解答：解：∵m∈[-1，1]，∴

m2+8

∈[2

2

，3]，
因為對m∈[-1，1]，不等式a2-5a+3≥

m2+8

恒成立，
可得a²-5a+3≥3，
∴a≥5或a≤0．
故命題p為真命題時，a≥5或a≤0．
又命題q：方程x²+ax+4=0在實數集內沒有解，
∴△=a²-16＜0，∴-4＜a＜4．
故命題q為真命題時-4＜a＜4．
∵{a|a≥5或a≤0}∩{a|-4＜a＜4}={a|-4＜a≤0}．
a的取值范圍是：-4＜a≤0．

點評：本題考查解決不等式恒成立常用分離參數轉化為求函數的最值、判斷二次方程根的個數問題用判別式．