Question

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中點，F為ED的中點．
 
(1)求證：平面PAC⊥平面PCD；
(2)求證：CF∥平面BAE.

Answer 1

見解析

(1)因為PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，(2分)
又AC⊥CD，且AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC，(4分)
又CD?平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD.(7分)
(2)取AE中點G，連接FG，BG.

因為F為ED的中點，所以FG∥AD且FG＝AD.(9分)
在△ACD中，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
所以AC＝AD，所以BC＝AD.(11分)
在△ABC中，AB＝BC＝AC，所以∠ACB＝60°，
從而∠ACB＝∠DAC，所以AD∥BC.
綜上，FG∥BC，FG＝BC，四邊形FGBC為平行四邊形，所以CF∥BG.(13分)
又BG?平面BAE，CF?平面BAE，所以CF∥平面BAE.(14分)