Question

已知函數f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．

(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；

(2)當a≤時，討論f(x)的單調性．

Answer 1

解析　(1)當a＝－1時，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．

∴f′(x)＝＋1－，∴f(2)＝ln2＋2，f′(2)＝1.

∴曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝x＋ln2.

(2)因為f(x)＝lnx－ax＋－1，

所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．

令g(x)＝ax²－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，

①當a＝0時，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)．

所以當x∈(0,1)時g(x)>0，此時f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，當x∈(1，＋∞)時g(x)<0，此時f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．

②當a≠0時，由f′(x)＝0，解得x₁＝1，x₂＝－1.

(ⅰ)若a＝時，f′(x)<0，所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．

(ⅱ)若0<a<時，由f′(x)<0，得x<1或x>－1，所以函數f(x)在(0,1)，單調遞減，在上單調遞增．

(ⅲ)當a<0時，由于－1<0，由f′(x)<0，得0<x<1，

∴x∈(0,1)時，函數f(x)遞減；x∈(1，＋∞)時，函數f(x)遞增．

綜上所述：

當a≤0時，函數f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增；

當a＝時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；

當0<a<時，函數f(x)在(0,1)，上單調遞減，在上單調遞增．