Question

已知函數f（x）=e^x（ax+1）（其中e為自然對數的底，a∈R為常數）．
（I）討論函數f（x）的單調性；
（II）當a=1時，設g（x）=f（lnx）-x，求g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）已知2^

1

x

＞x^m對任意的x∈（0，1）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數f'（x），然后討論a與0的大小關系，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間；
（II）當a=1時，g（x）=xlnx，利用其導數得g（x）在（0，

1

e

）上遞減，在（

1

e

，+∞）上遞增，再對字母t進行分類討論：①．當0＜t≤

1

e

時，②．當t＞

1

e

時，即可求出g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（III）由于2 

1

x

＞x^m＞0，兩邊取對數得ln2 

1

x

＞lnx^m，從而有m＞

ln2

xlnx

，令y=

ln2

xlnx

，利用其導數研究它的單調性，即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：（I）f′（x）=e^x[ax+（a+1）]…1
①．當a=0時，f′（x）=e^x  在R上遞增…2   
②．當a＞0時，（-∞，-

a+1

a

）上遞減，（-

a+1

a

，+∞）遞增…3
③．當a＜0時，（-∞，-

a+1

a

）上遞增，（-

a+1

a

，+∞）遞減…4
（II）g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx…5   
g（x）在（0，

1

e

）上遞減，在（

1

e

，+∞）上遞增…6
①．當0＜t≤

1

e

時，t+2＞

1

e

．g_min（x）=g（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

…7   
②．當t＞

1

e

時，g_min（x）=g（t）=tlnt…8
（III）∵2 

1

x

＞x^m＞0，所以ln2 

1

x

＞lnx^m，得m＞

ln2

xlnx

…10  
令y=

ln2

xlnx

，y′=

-ln22(1+lnx)

(xlnx)2

…11
在（0，

1

e

）遞增，在（

1

e

，+∞）遞減．
所以y_max=-eln2….12   
所以：m＞-eln2…..13

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．