Question

【題目】已知拋物線C：的焦點為F，拋物線C與直線l1：的一個交點為，且（為坐標原點）.

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(II)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積.

Answer 1

【答案】(I) y2＝8x；(II)24

【解析】

（I）確定拋物線C與直線l1：y＝﹣x的一個交點的坐標，代入拋物線方程，即可求拋物線C方程；

（II）設l2的方程為x＝y+m，代入拋物線方程，利用韋達定理，結合OA⊥OB，求出m的值，從而可求△FAB的面積．

解：(I)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)，

∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x.

(II)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.

由得y2－8y－8m＝0，

Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.

y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，

∴x1x2＝＝m2.

由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，

∴m＝8或m＝0(舍)，

∴直線l2：x＝y＋8，M(8，0).

故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|

＝3＝24.