Question

設f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），f（x）圖象的一條對稱軸是x=

π

8

．
（1）求φ的值；
（2）證明：對任意實數c，直線5x-2y+c=0與函數y=f（x）的圖象不相切．

Answer 1

分析：（1）依題意，sin（

π

4

+φ）=±1，可求得φ=kπ+

π

4

（k∈Z），而-π＜φ＜0，從而可求得φ的值；
（2）由f（x）=sin（2x-

3

4

π）可求得f′（x）=2cos（2x-

3

4

π）≤2，即曲線的切線的斜率不大于2，與直線5x-2y+c=0的斜率比較即可使結論得證．

解答：解：（1）由對稱軸是x=

π

8

，
得sin（

π

4

+φ）=±1，（2分）
即

π

4

+φ=kπ+

π

2

（k∈Z），（3分）
所以φ=kπ+

π

4

（k∈Z），（4分）
而-π＜φ＜0，所以φ=-

3

4

π．（6分）
（2）因為f（x）=sin（2x-

3

4

π）．
所以f′（x）=2cos（2x-

3

4

π）≤2，（8分）
即曲線的切線的斜率不大于2，
而直線5x-2y+c=0的斜率k=

5

2

＞2，（10分）
所以直線5x-2y+c=0不是函數y=f（x）的切線．（12分）

點評：本題考查正弦函數的對稱性及最值，考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查推理證明的能力，屬于中檔題．