Question

15、對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．已知函數f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當a=1，b=-2時，求f（x）的不動點；
（2）若對于任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a、b代入函數，根據條件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點”建立方程解之即可；
（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點轉化成對任意實數b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有兩個不等實根，再利用判別式建立a、b的不等關系，最后將b看成變量，轉化成關于b的恒成立問題求解即可．

解答：解：（1）當a=1，b=-2時，f（x）=x²-x-3=x?x²-2x-3=0?（x-3）（x+1）=0?x=3或x=-1，
∴f（x）的不動點為x=3或x=-1．
（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點
?對任意實數b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有兩個不等實根
?對任意實數b，△=b²-4a（b-1）＞0恒成立
?對任意實數b，b²-4ab+4a＞0恒成立
?△′=（4a）²-4×4a＜0
?a²-a＜0
?0＜a＜1．
即a的取值范圍是0＜a＜1．

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及恒成立問題的處理，屬于基礎題．