Question

若x_i＞0（i=1，2，3，…，n），觀察下列不等式：（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+ 

1

x3

）≥9，…，

請你猜測（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）滿足的不等式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

分析：根據不等式：（x₁+x₂）（

1

x1

+

1

x2

）≥4，（x₁+x₂+x₃）（

1

x1

+

1

x2

+ 

1

x3

）≥9，…，可以猜測（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），再用數學歸納法證明．

解答：解：滿足的不等式為（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥n²（n≥2），
證明如下：
（1）當n=2時，猜想成立；
（2）假設當n=k時，猜想成立，即（x₁+x₂+…+x_n）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

）≥k²，
那么n=k+1時，（x₁+x₂+…+x_k+1）（

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xk

）≥k²+2k+1=（k+1）²
則當n=k+1時猜想也成立，根據（1）（2）可得猜想對任意的n∈N，n≥2都成立．

點評：本題以已知不等式為載體，考查類比推理，考查數學歸納法，關鍵是第二步，同時應注意利用歸納假設．