Question

已知圓C：x²+y²-6x-8y+21=0，直線l過定點A（1，0）．
（1）求圓心C的坐標和圓的半徑r；
（2）若l與圓C相切，求l的方程；
（3）若l與圓C相交于P，Q兩點，求三角形CPQ面積的最大值，并求此時l的直線方程．

Answer 1

分析：（1）將圓C方程化為標準方程，找出圓心C坐標與半徑r即可；
（2）設直線l方程為y=k（x-1），根據直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式求出k的值，即可確定出直線l的方程；
（3）設直線l方程為y=k（k-1），利用三角形的面積公式表示出三角形CPQ的面積，根據三角形CPQ面積最大時，sinC最大為1，得到C為直角，即三角形CPQ為等腰直角三角形時面積最大，由半徑得到|CP|與|CQ|的長，利用勾股定理求出|PQ|的長，進而求出圓心C到直線l的距離，利用點到直線的距離公式求出k的值，即可確定出直線l的方程．

解答：解：（1）將圓的方程化為標準方程得：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圓心C（3，4），半徑r=2；
（2）當直線l斜率不存在時，直線x=1滿足題意；
當斜率存在時，設直線l方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
根據題意得：圓心C到直線l的距離d=r，即

|3k-4-k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，
此時直線l方程為3x-4y-3=0，
綜上，直線l方程為x=1或3x-4y-3=0；
（3）設直線l方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
∵S_△PCQ=

1

2

|CP|•|CQ|sinC=2sinC，
∴△PCQ面積最大，即為sinC最大，即sinC=1，
∴∠C=90°，
∴△PCQ為等腰直角三角形，
∴|PQ|=2

2

，
∴圓心C到直線l的距離d=

2

=

|3k-4-k|

k2+1

，
解得：k=1或k=7，
則直線l的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質，圓的標準方程，以及直線的點斜式方程，是一道多知識點的綜合題．