Question

如圖：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=3，側棱AA₁⊥底面ABC，D為C₁B的中點，P為AB邊上的動點．
（1）若P為AB中點，求證：PD∥平面ACC₁A₁
（2）若DP⊥AB，求四棱錐P-ACC₁A₁的體積．

Answer 1

分析：（1）P為AB中點，連結AC₁，證明PD∥AC₁，利用直線與平面平行的判定定理證明PD∥平面ACC₁A₁
（2）若DP⊥AB，求四棱錐P-ACC₁A₁的體積．

解答：解：（1）證明：P為AB中點，連結AC₁，因為D為C₁B的中點，所以PD是三角形ABC₁的中位線，所以PD∥AC₁，AC1?平面ACC₁A₁，由直線與平面平行的判定定理，可知PD∥平面ACC₁A₁
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，DP⊥AB，
∴AP=3PB，解得BP=

1

2

，
又AA₁=3，側棱AA₁⊥底面ABC，AC₁=

13

，
所以四棱錐P-ACC₁A₁的體積，VP-ACC1A1=

3

4

VB-ACC1A1=

3

4

×

1

3

×2×3×

3

=

3 3

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，幾何體的體積的求法，考查計算能力、空間想象能力．