Question

（1）已知

a

=（2x-y+1，x+y-2），

b

=（2，-2），
①當x、y為何值時，a與b共線？
②是否存在實數x、y，使得a⊥b，且|

a

|=|

b

|？若存在，求出xy的值；若不存在，說明理由．
（2）設

n

和

m

是兩個單位向量，其夾角是60°，試求向量

a

=2

m

+

n

和b=-3

m

+2

n

的夾角．

Answer 1

分析：（1）①根據向量平行的坐標表示式，由

a

∥與

b

可得-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得到實數x=

1

3

，得到使

a

、

b

共線的x、y的值．
②

a

與

b

垂直，且|

a

|=|

b

|，可得

a

=（-2，-2）或

a

=（2，2），由此建立關于x、y的方程組，解出x、y的值，從而得到存在實數x、y，使得

a

⊥

b

且|

a

|=|

b

|，此時xy=-1或xy=3．
（2）根據向量數量積公式算出

m

•

n

=

1

2

，再由向量數量運算性質算出|

a

|=|

b

|=

7

和

a

•

b

=-

7

2

．最后利用向量的夾角公式，可得

a

與

b

的夾角為120°．

解答：解：（1）①∵

a

=（2x-y+1，x+y-2），

b

=（2，-2），
∴若

a

與

b

共線，則-2（2x-y+1）=2（x+y-2），解之得x=

1

3

因此，當x=

1

3

、y為任意實數時，

a

與

b

共線；
②若

a

與

b

垂直，且|

a

|=|

b

|，則
∵

b

=（2，-2），
∴

a

=（2x-y+1，x+y-2）=（-2，-2）或

a

=（2x-y+1，x+y-2）=（2，2）
即

2x-y+1=-2 x+y-2=-2

或

2x-y+1=2 x+y-2=2

，解之得

x=-1 y=1

或

x=1 y=3

∴xy=-1或xy=3．
因此存在實數x、y，使得

a

⊥

b

且|

a

|=|

b

|，此時xy=-1或xy=3．
（2）∵

n

和

m

是兩個單位向量，其夾角是60°，∴

m

•

n

=|

m

|•|

n

|cos60°=

1

2

，
∴|

a

|²=|2

m

+

n

|²=（2

m

+

n

）•（2

m

+

n

）=4

m

²+4

m

•

n

+

n

²=7，同理可得|

b

|²=|-3

m

+2

n

|²=7，
因此，|

a

|=|

b

|=

7

∵

a

•

b

=（2

m

+

n

）•（-3

m

+2

n

）=-

7

2

．
設

a

與

b

的夾角為θ，可得cosθ=

a • b

| a |•| b |

=-

1

2

∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．

點評：本題給出向量含有字母的坐標，探索兩個向量能否共線或者平行，并且求向量的夾角．著重考查了平面向量的數量積計算公式和平行、垂直的條件等知識，屬于中檔題．