Question

設(shè)關(guān)于x的方程是x²－(tan＋i)x－(2＋i)＝0．

(1)若方程有實(shí)根，求銳角的實(shí)數(shù)根；

(2)證明對(duì)任意≠kπ＋(k∈Z)方程無(wú)純虛數(shù)根．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設(shè)方程的實(shí)根為α，則α²－(tan＋i)α－(2＋i)＝0，即α²－tan·α－2－(α＋1)i＝0

　　∵α·tan∈R　∴

　　∴α＝－1且tan＝1

　　又＜＜，∴＝，α＝－1

　　(2)若方程有純虛數(shù)根βi(β∈R，β≠0)則

　　(βi)²－(tan＋i)·βi－(2＋i)＝0．

　　∴－β²＋β－2＝0　　①

　　且－tan·β－1＝0　　②

　　由②得β＝－cot，代入①得cot²＋cot＋2＝0此方程Δ＝1－8＜0，∴cot為虛數(shù)，與cot∈R矛盾，假設(shè)不成立，∴原方程對(duì)于任意實(shí)數(shù)不可能有純虛數(shù)根．