Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點F引直線bx-ay=0的垂線，垂足為M，延長FM交y軸于E，若

EM

=2

MF

，則該橢圓的離心率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：由題意可得可先求直線MF的方程，然后可得到E．F的坐標，再根據|FM|=2|ME|，求出M的坐標，由在直線bx-ay=0得到a，b之間的關系，即可求出答案．

解答：解：不妨以右焦點的坐標是（c，0）為例，設M（x，y）
∵EF垂直于直線y=

b

a

x
所以 直線EF的斜率是-

a

b

，直線的方程是y=-

a

b

（x-c）
當x=0時，y=

ac

b

，所以E點的坐標（0，

ac

b

）
∵

EM

=2

MF

，
∴（x，y-

ac

b

）=2（c-x，-y）=（2c-2x，-2y）
∴

x= 2c 3 y= ac 3b

∴M的坐標（

2c

3

，

ac

3b

）
∵點M在直線bx-ay=0上，則2×

bc

3

-

ca2

3b

=0
整理得：2b²=a²
所以：c²=

1

2

a²
∴c=

2

2

a．
所以離心率e=

c

a

=

2

2

故選B

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．考查了學生轉化和化歸的數學思想的運用，以及基本的運算能力．