Question

(本小題滿分12分) 某工廠每天生產某種產品最多不超過40件，并且在生產過程中產品的正品率P與每日生產產品件數x(x∈N^*)間的關系為P＝，每生產一件正品盈利4000元，每出現一件次品虧損2000元.(注：正品率=產品的正品件數÷產品總件數×100%).
(Ⅰ)將日利潤y(元)表示成日產量x(件)的函數;
(Ⅱ)求該廠的日產量為多少件時，日利潤最大？并求出日利潤的最大值.

Answer 1

（1）y=-+3600x(x∈N^*，1≤x≤40)（2）該廠的日產量為30件時，日利潤最大，其最大值為7200元

試題分析：解：(1)y＝4000··x-2000(1-)·x……………………………4分
=3600x-
∴所求的函數關系是y=-+3600x(x∈N^*，1≤x≤40). …………………………4分
(Ⅱ) 由函數y= （x>0）,y′＝3600-4，令y′＝0，解得x＝30.
∴當1x＜30時，y′＞0；當30＜x40時，y′＜0.
∴函數y=在［1，30］上是單調遞增函數，在[30，40］上是單調遞減函數. ………………………………………………………………9分
∴當x=30時，函數y= (1≤x≤40)取最大值，最大值為×30³+3600×30＝7200(元).
∴該廠的日產量為30件時，日利潤最大，其最大值為7200元 ……………………12分
點評：解決這類問題的關鍵是理解利潤函數與成本和收入的關系式，同時要注意到函數的自編來那個的實際意義，得到定義域，結合函數 性質求解最值。屬于中檔題。