Question

已知直線l：y=k（x+2

2

）與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點，O是坐標原點，三角形ABO的面積為S．
（Ⅰ）試將S表示成的函數S（k），并求出它的定義域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值時k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出原點到直線的距離，并利用弦長公式求出弦長，代入三角形的面積公式進行化簡．
（Ⅱ）換元后把函數S的解析式利用二次函數的性質進行配方，求出函數的最值，注意換元后變量范圍的改變．

解答：解：（Ⅰ）直線l方程kx-y+2

2

k=0(k≠0)，
原點O到l的距離為|oc|=

2 2 |k|

1+k2

（3分）
弦長|AB|=2

|OA|2-|OC|2

=2

4- 8K2 1+K2

（5分）
•ABO面積S=

1

2

|AB||OC|=

4 2 K2(1-K2)

1+K2

•
∵|AB|＞0，∴-1＜K＜1（K≠0），•
∴S(k)=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

（-1＜k＜1且K≠0）（8分），
（Ⅱ） 令 

1

1+k2

=t，

1

2

＜t＜1，

∴S(k)=

4 2 k2(1-k2)

1+k2

=4

2

-2t2+3t-1

=4

2

-2(t- 3 4 )2+ 1 8

．
∴當t=

3

4

時，

1

1+k2

=

3

4

，k2=

1

3

，k=±

3

3

時，S_max=2（12分）

點評：本題考查點到直線的距離公式、弦長公式的應用，以及利用二次函數的性質求函數的最大值，注意換元中變量范圍的改變．