Question

已知在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，若a²+b²-c²=-ab，且向量

n

=（b，-a）與

m

=（cosA，cosB）互相垂直．
（1） 求角A，B，C的大��；
（2）若函數f（x）=sin（2x+A）+cos（2x-

C

2

），求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）根據余弦定理表示出cosC，把已知的a²+b²-c²=-ab代入即可求出cosC的值，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數，然后根據兩向量垂直時其數量積為0，得到一個關系式，利用正弦定理及兩角差的正弦函數公式化簡后，得到B與A相等，再根據三角形的內角和定理即可求出B和C的度數；
（2）把（1）中求出的A和C的度數代入f（x），利用誘導公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的單調遞增區間即可得到f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）由a²+b²-c²=-ab，
得到：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

-ab

2ab

=-

1

2

，又C∈（0，π），
所以C=

2π

3

，又

n ⊥ m

，得到

n

•

m

=bcosA-acosB=0，
根據正弦定理得：sinBcosA-sinAcosB=0，即sin（B-A）=0，
得到B=A=

π

6

；
（2）把（1）中求出的A=

π

6

，C=

2π

3

代入得：
f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos（2x-

π

3

）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區間為[Kπ--

π

3

，Kπ+

π

6

]（K∈Z）

點評：此題考查學生靈活運用余弦定理及兩角差的正弦函數公式化簡求值，掌握平面向量的數量積的運算法則及正弦函數的單調區間，是一道中檔題．