Question

設數列的前項和為，已知(n∈N*).

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，數列的前項和為，若存在整數，使對任意n∈N*且n≥2，都有成立，求的最大值；

（Ⅲ）令，數列的前項和為，求證：當n∈N*且n≥2時，.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）的最大值為18（Ⅲ）證明略

解析:

（Ⅰ）由，得(n≥2).

兩式相減，得，即(n≥2).                      （1分）

于是，所以數列是公差為1的等差數列.                        （2分）

又，所以.                                                  （3分）

所以，故.                                 （4分）

（Ⅱ）因為，則.       （5分）

令，則

.

所以

.

即，所以數列為遞增數列.                                （7分）

所以當n≥2時，的最小值為.

據題意，，即.又為整數，故的最大值為18.                  （8分）

（Ⅲ）因為，則當n≥2時，

.                                                （9分）

據柯西不等式，有.

于是.      （11分）

又據柯西不等式，有

.

故.                                                          （13分）