Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的最大值；

（2）若函數存在兩個極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當時，的最大值為，當時，的最大值為1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，分為，，三種情況，結合導數判斷函數的單調性，繼而求出最大值.

（2）由函數存在兩個極值點可知在上存在兩不等的實根，令，從而可知，可求出的取值范圍，結合韋達定理可求出，結合令，在上的單調性，可證明.

解：（1）由題意知，定義域為，且，

當時，解得，此時對成立，

則在上是增函數，此時最大值為，

當時，由得，由，

取，則時，；時，，

所以在上是減函數，在上是增函數，又

則當，即時，此時，在上的最大值為；

當，即時，在上的最大值為，

綜上，當時，函數在的最大值為，當時，函數在的最大值為1.

（2）要使存在兩個極值點，則在上存在兩不等的實根，

令，則對稱軸為，則，解得，

由韋達定理知，

.

令，，，在上單調遞減，

時，，.