Question

已知f（x）=．是否存在實數p、q、m，使f（x）同時滿足下列三個條件：
①定義域為R的奇函數；
②在[1，+∞）上是減函數；
③最小值是-1．若存在，求出p、q、m；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：∵f（x）是定義域為R的奇函數，
∴f（0）=0 即q=0，得q=1
又f（-x）=-f（x）
∴=-，
∴=，
即（x²+1）²-p²x²=（x²+1）²-m²x²
∴p²=m²
若p=m，則f（x）=0，不合題意．故p=-m≠0
∴f（x）=
由f（x）在[1，+∞）上是減函數，
x≠0時，令g（x）==1-=1-
∵在[1，+∞）上遞增，在（-∞，-1）也遞增，只有m＞0時，在[1，+∞）上g（x）遞增，從而f（x）遞減．
即m＞0時函數f（x）在（-∞，-1）上為減函數，在（-1，0）上為增函數，在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數
∴x=-1時，在（-∞，-1]上取得最大值-2，此時由f（x）的最小值為-1得g（x）的最大值為3．
∴1-=3 得m=1，從而p=-1
綜上可知，存在p=-1，q=1，m=1．
分析：先利用奇函數的定義得q=1，且p=-m≠0，再利用復合函數法，結合已知函數的單調區間判斷m＞0，從而確定函數f（x）的單調區間，最后結合單調性與已知的最小值，推測只能當x=-1時函數f（x）取最小值-1，從而解得m的值，進而得p、q、m的值
點評：本題考查了奇函數的定義及其應用，復合函數法判斷函數的單調性，并利用單調性求函數最值的方法，邏輯推理能力和運算能力