Question

已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積×高）時，其高的值為（　　）

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  2 3

  3

• D、

  3

Answer 1

分析：根據正六棱柱和球的對稱性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點，作出過正六棱柱的對角面的軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關系，在這個關系下求函數取得最值的條件即可求出所要求的量．

解答：解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖．設球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，則O是O₁，O₂的中點．設正六棱柱的底面邊長為a，高為2h，則a²+h²=9．正六棱柱的體積為V=6×

3

4

a2×2h，即V=

3 3

2

(9-h2)h，則V′=

3 3

2

(9-3h2)，得極值點h=

3

，不難知道這個極值點是極大值點，也是最大值點．故當正六棱柱的體積最大，其高為2

3

．
故選B

點評：本題是在空間幾何體、導數的應用交匯處命制，解題的關鍵是建立正六棱柱體積的函數關系式．考生如果對選修系列四的《不等式選講》較為熟悉的話，求函數V=

3 3

2

(9-h2)h的條件可以使用三個正數的均值不等式進行，即V=

3 3

2

(9-h2)h=

3 3

2 2

(9-h2)•(9-h2)•2h2

≤

3 6

4

( (9-h2)+(9-h2)+2h2 3 )3

，等號成立的條件是9-h²=2h²．