Question

已知函數(shù)f（x）=2^x的圖象與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，令h（x）=g（1-|x|）則關(guān)于函數(shù)h（x）有下列命題：
①h（x）為圖象關(guān)于y軸對稱；
②h（x）是奇函數(shù)；
③h（x）的最小值為0；
④h（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
其中正確命題的序號為

①④

（注：將所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)f（x）=2^x的圖象與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，求出函數(shù)g（x）的解析式，然后根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行判定，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定可求出函數(shù)的最值，從而得到正確選項．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=2^x的圖象與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
∴g（x）=log₂x
∴h（x）=g（1-|x|）=log₂（1-|x|），x∈（-1，1）
而h（-x）=log₂（1-|-x|）=h（x）
則h（x）不是奇函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確，②不正確
該函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減
∴h（x）有最大值為0，無最小值
故選項③不正確，④正確
故答案為：①④

點評：本題主要考查了反函數(shù)，以及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和最值，同時考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，屬于中檔題．