Question

已知的頂點在橢圓上，在直線上，且．
（1）當邊通過坐標原點時，求的長及的面積；
（2）當，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程．

Answer 1

（1），；（2）。

解析試題分析：（1）由于直線過原點，故直線方程是已知的，可直接求出兩點的坐標，求出線段的長，及邊上的高和面積；（2）設直線方程為，把方程與橢圓方程聯立，消去，得出關于的二次方程，兩點的橫坐標就是這個方程的兩解，故必須滿足，而線段的長，線段的長等于平行線與間的距離，再利用勾股定理求出，這時一定是的函數，利用函數知識就可以求得結論。
試題解析：（1）因為，且過點，所以所在直線方程為。
設兩點的坐標分別為，
由　得。
∴。
又因為邊上的高等于原點到直線的距離，
所以。
（2）設直線的方程為，
由　得。
因為在橢圓上，所以。
設兩點的坐標分別為，
則，
所以。
又因為的長等于點到直線的距離，即，
所以。
所以當時，邊最長（這時），
此時所在直線方程為。
考點：直線和橢圓相交，弦長問題。