Question

設f（x）=的圖象為c₁，c₁關于點A（2，1）對稱的圖象為c₂，c₂對應的函數為g（x）
（1）求g（x）的解析表達式；
（2）解不等式（a＞0且≠1）

Answer 1

【答案】分析：（1）設函數g（x）圖象任一點P（x，y），利用中點坐標公式求關于點A對稱的點P'坐標，再把此點的坐標代入函數f（x）的解析式，化簡得到g（x）的解析式；
（2）由g（x）＞0求出x的范圍，即對應函數的定義域，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況求解，分別利用對數函數的單調性進行轉化，解分式不等式的解集時利用通分進行化簡，利用求出的x的范圍求解不等式的解集，并與定義域求交集．
解答：解：（1）設函數g（x）圖象c₂上任一點P（x，y），則關于點A（2，1）對稱的點P'坐標為（x'，y'），
由中點坐標公式得，，解得x'=4-x，y'=2-y，即P'（4-x，2-y），
∵點P'在函數f（x）=的圖象c₁上，∴2-y=4-x+，則y=，
∴g（x）=．
（2）由g（x）＞0得，＞0，即＞0，
∴（x²-6x+9）（x-4）＞0，解得x＞4，則y=log_a^g（x）的定義域是（4，+∞），
下面分兩種情況求解：
當a＞1時，函數y=log_a^x在定義域上是增函數，
∴原不等式變為＜，即-＜0，
∴＜0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＜0，解得，＜x＜6；
即不等式的解集是，
當0＜a＜1時，函數y=log_a^x在定義域上是減函數，
∴原不等式變為＞，即-＞0，
∴＞0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＞0，解得，x＞6或x＜，
∵x＞4，∴4＜x＜或x＞6，即不等式的解集是，
綜上，當a＞1時不等式的解集是，
當0＜a＜1時不等式的解集為．
點評：本題是一道難度和計算量較大的綜合題，考查了利用對稱和代入法求函數的解析式，利用底數進行分類討論和對數函數的單調性，對有關對數不等式進行轉化；注意求解先求出函數的定義域以及分式不等式的等價變形，這是易錯的地方．