Question

在平面直角坐標系xOy中，點A（-1，-2）、B（2，3）、C（-2，-1）．
（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
（2）當t為何值時，

AB

-t

OC

與

OC

垂直；
（3）當t為何值時，t

OA

+

OB

與

OA

-2

OB

平行，平行時它們是同向還是反向．

Answer 1

分析：（1）利用平行四邊形的性質，確定E的坐標，從而可得D的坐標，即可求得以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
（2）確定

AB

-t

OC

與

OC

的坐標，利用垂直，可得數量積為0，即可求得t的值；
（3）確定t

OA

+

OB

與

OA

-2

OB

的坐標，利用平行，可得方程，從而可求t的值，即可判斷平行時它們是同向還是反向．

解答：解：（1）設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則E為B，C的中點，E（0，1）
又E（0，1）為A，D的中點，所以D（1，4）
故所求的兩條對角線的長分別為BC=4

2

，AD=2

10

；
（2）由題設知：

OC

=（-2，-1），

AB

-t

OC

=（3+2t，5+t）．
由

AB

-t

OC

與

OC

垂直，得：(

AB

-t

OC

)•

OC

=0．
即（3+2t，5+t）•（-2，-1）=0，
從而5t=-11，所以t=-

11

5

．…（6分）
（3）由題設知：t

OA

+

OB

=（2-t，3-2t），

OA

-2

OB

=（-5，-8），
由t

OA

+

OB

與

OA

-2

OB

平行，得10t-15=8t-16，解得：t=-

1

2

．
此時，t

OA

+

OB

=-

1

2

（-5，-8），所以它們方向相反．…（9分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查向量的垂直與平行，考查學生的計算能力，屬于中檔題．