Question

如圖，在矩形ABCD內，兩個圓M、N分別與矩形兩邊相切，且兩圓互相外切．若矩形的長和寬分別為9和8，試把兩個圓的面積之和S表示為圓M半徑x的函數關系式，并求S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由圖形利用勾股定理建立兩圓半徑的關系式，利用面積公式得到面積關于關于圓M半徑x的函數，利用二次函數在某個區間上的最值的求法來求得最值．

解答：解：設圓N的半徑為r，
過點M，N分別作矩形兩邊的平行線，易知：[9-（x+r）]²+[8-（x+r）]²=（x+r）²，
解得：x+r=5或x+r=29（舍）
因而S=πx²+πr²=π（2x²-10x+25）．
又

2x≤8 2r≤8 r=5-x

，則1≤x≤4，
易知：當x=

5

2

時，Smin=

25

2

π；
當x=1或x=4時，S_max=17π．
故Smin=

25

2

π，S_max=17π．

點評：考查幾何圖形的位置關系轉換為函數的能力與一元二次函數求最值的方法．