Question

已知二次函數f(x)=x²+ax（）．

（1）若函數y=f(sinx+cosx)()的最大值為，求f(x)的最小值；

（2）當a>2時,求證：f(sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x)1–a.其中x∈R,x¹kp且x¹kp(k∈Z).

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求的值域，再討論a的范圍，根據最大值，求最小值；（2）利用導數先求sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x的值域，再根據二次函數求結論.

試題解析：(1)令，，        2分

，當a<0時，t=–2時，，

解得：

此時，．            2分

當時，t=2時，，解得：

此時，

綜合上述，條件滿足時，的最小值為              2分

(2)x∈R，且

又，故設，則有

設(其中t∈(0，1))           2分

             2分

令，得

當時，，所以在(0，)單調遞減，

當時，，所以在(，1)單調遞增，

時取最小值等于

即有          3分

當a>2時，的對稱軸，

上單調遞增，

          2分

考點：1、利用導數求函數的單調性；2、二次函數；3、導數與二次函數、三角函數的綜合應用.