Question

已知函數f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函數y=g（x）的圖象與函數y=f（x）的圖象關于原點對稱．
（1）寫出函數g（x）的解析式；
（2）求不等式2f（x）+g（x）≥0的解集A；
（3）問是否存在m∈R^*，使不等式f（x）+2g（x）≥log_am的解集恰好是A？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）、設P（x，y）為y=g（x）圖象上任意一點，則P關于原點的對稱點Q（-x，-y）在y=f（x）的圖象上，把Q（-x，-y）代入函數y=log_a（x+1）（a＞1），就能得到函數g（x）的解析式．
（2）、不等式2f（x）+g（x）≥0等價于loga

(1+x)2

1-x

≥0，求出loga

(1+x)2

1-x

≥0的解集即得到集合A．
（3）、先假設存在m∈R^*使命題成立，則由f（x）+2g（x）≥log_am，得log_a（1+x）≥log_a[m（1-x）²]，然后根據不等式1+x≥m（1-x）²的解集與集合A的關系求出m的值．

解答：解：（1）設P（x，y）為y=g（x）圖象上任意一點，
則P關于原點的對稱點Q（-x，-y）在y=f（x）的圖象上，
所以-y=log_a（-x+1），即g（x）=-log_a（1-x）；
（2）由

x+1＞0 1-x＞0

?-1＜x＜1，原不等式可化為loga

(1+x)2

1-x

≥0，
∵a＞1，∴

(1+x)2

1-x

≥1，且-1＜x＜1?0≤x＜1即A=[0，1）．
（3）假設存在m∈R^*使命題成立，則由f（x）+2g（x）≥log_am，
得log_a（1+x）≥log_a[m（1-x）²]
∵a＞1，∴不等式組

-1＜x＜1 m(1-x)2≤1+x

的解集恰為A=[0，1），
只需不等式1+x≥m（1-x）²，即mx²-（2m+1）x+m-1≤0的解集為A=[0，b），且b≥1，
易得m=1即為所求，故存在實數m=1使命題成立．

點評：本題是對數函數的綜合題，難度較大．在解題是要注意對稱性質的靈活應用和等價命題的合理轉化．