Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD相交于點O，C₁O與平面ABCD所成的角為60°．
（1）求三棱錐A₁-BCD的體積；
（2）求異面直線C₁O與CD1所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得∠C₁OC=60°，求出CC₁的值，代入三棱錐的體積公式運算求得結果．
（2）解法一：設AD₁與A₁D相交于M，則∠MOC₁就是異面直線C₁O與CD₁所成的角，由余弦定理求得cos∠MOC₁ 的值，
即可求得∠MOC₁的值．
解法二：建立空間直角坐標系，求出

OC

 和

CD1

的坐標，利用兩個向量的夾角公式求出

OC

 和

CD1

的夾角，
即可得到異面直線C₁O與CD₁所成的角．

解答：解：（1）∵CC₁⊥ABCD，∴∠C₁OC就是C₁O與平面ABCD所成的角，
  …（2分）
在正△ABD中，AO=

3

=OC，∴CC1=

3

tan60°=3，…（4分）
∴VA-BCD=

1

3

•AA1•S△BCD=

3

，
∴三棱錐A₁-BCD體積為

3

．…（6分）
（2）解法一：設AD₁與A₁D相交于M，
連OM、CD₁，則OM∥CD₁，
∴∠MOC₁就是異面直線C₁O與CD₁所成的角．…（8分）
連C₁M，在△OC₁M中，OC1=2

3

，OM=

1

2

CD1=

13

2

，C1M=

9 4 +4+1+4cos120°

-

37

2

，cos∠MOC1=

12+ 13 4 - 37 4

2×2 3 × 13 2

=

6

2 39

=

39

13

…（12分）
∴∠MOC1=arccos

39

13

，
∴異面直線C₁O與CD₁所成角為 arccos

39

13

．…（14分）
解法二：如圖建立空間直角坐標系，則
O（0，0，0），C₁（-

3

，0，3），
∴

OC

=(-

3

，0，3)…（8分）C(-

3

，0，0)，D（0，-1，3），
∴

CD1

=(

3

，-1，3)…（10分）
設異面直線C₁O與CD₁所成的角為θ
∴cosθ=

6

12 • 13

=

39

13

，∴θ=arccos

39

13

∴異面直線C₁O與CD₁所成角為 arrcos

39

13

…（14分）

點評：本題考查球三棱錐的體積，異面直線所成的角的定義和求法，找出兩異面直線所成的角，是解題的關鍵．