Question

設數列的前項和為，已知（，為常數），，，（1）求數列的通項公式；（2）求所有滿足等式成立的正整數，.

Answer 1

（1）（）；（2）.

試題分析：（1）由取n=1，及 ，，可求得，再由構造兩個關系相減求得與關系，進而知道為等比數列，從而可求得通項公式；（2）由（1），得，代入，同時注意變形技巧，易得n與m的關系，注意到，為正整數，以m為分類標準進行討論，進而求得n與m的值.
試題解析：（1）由題意，得，求得．所以，   ①
當時，      ②
①－②，得（），又，所以數列是首項為，公比為的等比數列，
故的通項公式為（）.
（2）由（1），得，由，兩邊倒數，且有，因此得，化簡得，即，即．（*）因為，所以，所以，因為，所以或或.
當時，由（*）得，所以無正整數解；
當時，由（*）得，所以無正整數解；
當時，由（*）得，所以.綜上可知，存在符合條件的正整數.與的關系：；2，等比數列通項公式，前n項和公式；3，分類討論思想.