Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三點在橢圓C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1，證明：l過定點．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據橢圓的對稱性，P3（﹣1， ），P4（1， ）兩點必在橢圓C上，

又P4的橫坐標為1，∴橢圓必不過P1（1，1），

∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三點在橢圓C上．

把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入橢圓C，得：

，解得a2=4，b2=1，

∴橢圓C的方程為 =1．

（2）

證明：①當斜率不存在時，設l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），

∵直線P2A與直線P2B的斜率的和為﹣1，

∴ = = =﹣1，

解得m=2，此時l過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足．

②當斜率存在時，設l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，

，x1x2= ，

則 = =

= = =﹣1，又b≠1，

∴b=﹣2k﹣1，此時△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，

∴直線l的方程為y=kx﹣2k﹣1，

當x=2時，y=﹣1，

∴l過定點（2，﹣1）．

【解析】（1.）根據橢圓的對稱性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三點在橢圓C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入橢圓C，求出a2=4，b2=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2.）當斜率不存在時，不滿足；當斜率存在時，設l：y=kx+b，（b≠1），聯立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、直線方程，結合已知條件能證明直線l過定點（2，﹣1）．
【考點精析】本題主要考查了斜截式方程和橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點為則：；橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．