Question

在對數函數y=log 

1

2

x的圖象上（如圖），有A、B、C三點，它們的橫坐標依次為t、t+2、t+4，其中t≥1，
（1）設△ABC的面積為S，求S=f（t）；
（2）判斷函數S=f（t）的單調性；
（3）求S=f（t）的最大值．

Answer 1

分析：根據已知條件，A、B、C三點坐標分別為（t，log 

1

2

t），（t+2，log 

1

2

（t+2）），（t+4，log 

1

2

（t+4）），
對于（1）由圖形得S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE，根據面積公式代入相關數據即可得到三角形面積的表達式
（2）根據（1）中所求的表達式研究函數的單調性并進行證明即可
（3）由（2）所求的單調性求出三角形面積的最大值．

解答：解：（1）A、B、C三點坐標分別為（t，log 

1

2

t），（t+2，log 

1

2

（t+2）），（t+4，log 

1

2

（t+4）），由圖形，當妨令三點A，B，C在x軸上的垂足為E，F，N，則△ABC的面積為
S_ABC=S_梯形ABFE+S_梯形BCNF-S_梯形ACNE
=-[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+2）]-[log 

1

2

（t+2）+log 

1

2

（t+4））]+2[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+4））]
=[log 

1

2

t+log 

1

2

（t+4）-2log 

1

2

（t+2）]=log2

(t+2)2

t2+4t

=log2(1+

4

t2+4t

)
即△ABC的面積為S=f（t）=log2(1+

4

t2+4t

)  （t≥1）

（2）f（t）=log2(1+

4

t2+4t

)  （t≥1）是復合函數，其外層是一個遞增的函數，t≥1時，內層是一個遞減的函數，故復合函數是一個減函數，
（3）由（2）的結論知，函數在t=1時取到最大值，故三角形面積的最大值是
S=f（1）=log2(1+

4

1 +4

)=log2

9

5

點評：本題考查對數函數的圖象和性質的綜合運算，解題時要結合圖象進行分析求解，注意計算能力的培養．