Question

已知，函數，．
（1）若曲線與曲線在它們的交點處的切線互相垂直，求，的值；
（2）設，若對任意的，且，都有，求的取值范圍．

Answer 1

（1），或；（2）.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求曲線的切線等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力、轉化能力.第一問，由于與在處的切線互相垂直，所以兩條切線相互垂直，即斜率相乘得-1，對和求導，將1代入得到兩切線的斜率，列出方程得出a的值；第二問，先將“對任意的，且，都有”轉化為“對任意的，且，都有”，令，則原命題等價于在是增函數，對求導，判斷導數的正負，決定函數的單調性.
（1），．
，．
依題意有，
可得，解得，或 ．　　　　    ６分
（2）．
不妨設，
則等價于，
即．
設，
則對任意的，且，都有，
等價于在是增函數．
，
可得，
依題意有，對任意，有．
由，可得．     13分