Question

已知α，β∈(0，

π

2

)，且tanα，tanβ是方程x²-5x+6=0的兩根．
（1）求α+β的值；  
（2）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）由韋達定理可得 tanα+tanβ 和tanαtanβ，利用兩角和的正切公式求出tan（α+β）的值，由α+β 的范圍求出α+β
的值．
（2）由tanαtanβ=6，cos(α+β)=-

2

2

，解得cosαcosβ和 sinαsinβ 的值，即可求得cos（α-β）的值．

解答：解：（1）由韋達定理可得  tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，故有 tan(α+β) =

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=   -1，
根據 α，β∈(0，

π

2

)，∴0＜α+β＜π，故α+β=

3π

4

．
（2）由tanαtanβ=6，可得sinαsinβ=6cosαcosβ①，
又由cos(α+β)=-

2

2

，可得 cosαcosβ-sinαsinβ=-

2

2

②，
聯立①②解得 sinαsinβ=

3 2

5

，cosαcosβ=

2

10

，
故cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

7 2

10

．

點評：本題考查兩角和的正切公式，兩角和差的余弦公式的應用，根據三角函數的值求角，求出α+β=

3π

4

，是解題的關鍵．