Question

（本小題滿分14分） 如圖，已知二次函數，直線，直線（其中，為常數）；.若直線的圖象以及的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示. 

（Ⅰ）求；  （Ⅱ）求陰影面積s關于t的函數的解析式；

（Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，求實數m的取值范圍.

Answer 1

解：（I）由圖可知二次函數的圖象過點（0，0），（1，0）

則，又因為圖象過點（2，6）∴6=2a ∴a=3

∴函數的解析式為  ………3分

（Ⅱ）由得

∵，∴直線與的圖象的交點

橫坐標分別為0,1+t ,   …………5分

由定積分的幾何意義知： 

                                           

， ………8分

（III）∵曲線方程為，，∴，

∴點不在曲線上。設切點為，則點M的坐標滿足

,因，故切線的斜率為

，整理得.

∵過點可作曲線的三條切線，

∴關于x₀方程有三個實根.  …………11分

設，則，由得

∵當∴在上單調遞增，

∵當，∴在上單調遞減.

∴函數的極值點為，

∴關于x₀方程有三個實根的充要條件是，

解得，故所求的實數m的取值范圍是。