Question

14、給定正整數n（n≥2）按右圖方式構成倒立三角形數表，第一行依次寫上數l，2，3，…，n，在第一行的每相鄰兩個數正中間的下方寫上這兩個數之和，得到第二行的數（比上一行少一個數），依次類推，最后一行（第n行）只有一個數，例如n=6時數表如圖所，則當n=2009時最后一行的數是

1005×2²⁰⁰⁸

．

Answer 1

分析：分析已知圖形中的各行數據分析第一行的第一數的變化情況，可以得到a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=8=1+2×2+3，a₄=20=1+2×2+2×3+4，…則a_n=C_n-1⁰×1+C_n-1¹×2+…+C_n-1^n-1×n，故不難求出當n=2009時最后一行的數a₂₀₀₉的值．

解答：解：鄰第m行的第一個數為，a_m
∵可以得到a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=8=1+2×2+3，a₄=20=1+2×2+2×3+4，…
則a_n=C_n-1⁰×1+C_n-1¹×2+…+C_n-1^n-1×n，
當n=2009時
最后一行的數
a₂₀₀₉=C₂₀₀₈⁰×1+C₂₀₀₈¹×2+…+C₂₀₀₈¹×n=1005×2²⁰⁰⁸
故答案為：1005×2²⁰⁰⁸

點評：本題考查點是歸納與類比及二項式定理的相關運算，根據已知的數據，我們可以得到每一行第一個數的變化規律，根據規律我們可以計算出每一行的第一個數字，將n=2009代入公式，即可求解．