Question

已知x滿足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，求函數(shù)y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1（a∈R）的最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，我們可將函數(shù)y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1（a∈R）的解析式化為y=

1

2

(2x-a)2+1，由x滿足不等式（log₂x）²-log₂x²≤0，我們求出滿足條件的x的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)在定區(qū)間了最小值的確定方法，我們易求出函數(shù)y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1（a∈R）的最小值．

解答：解：解不等式 （log₂x）²-log₂x²≤0，
得 1≤x≤4，
所以 2≤2^x≤16
y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1=

1

2

(2x)2-a•2x+

a2

2

+1=

1

2

(2x-a)2+1
當a＜2時，ymin=

1

2

(2-a)2+1；
當2≤a≤16時，y_min=1
當a＞16時，ymin=

1

2

(16-a)2+1

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，指數(shù)的運算性質(zhì)，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，其中根據(jù)已知求出滿足條件的x的取值范圍，進而求出2^x的取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，是解答本題的關(guān)鍵．