Question

必做題
當n≥1，n∈N^*時，
（1）求證：C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2=n（1+x）^n-1；
（2）求和：1²C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ．

Answer 1

證明：（1）設f（x）=（1+x）ⁿ=C_n°+C_n¹x+C_n²x²+C_n³x³+…+C_nⁿxⁿ…①，
①式兩邊求導得：n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，…②
（2）②的兩邊同乘x得：nx（1+x）^n-1=C_n¹x2C_n²x²+3C_n³x³+…+（n-1）C_n^n-1x^n-1+nC_nⁿxⁿ，…③，
③式兩邊求導得：n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2=C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+（n-1）²C_n^n-1x^n-2+n²C_nⁿx^n-1，…④，
④中令x=1得，C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+（n-1）²C_n^n-1+n²C_nⁿ=n2^n-1+n（n-1）2^n-2=2^n-2•n（n+1）．