Question

已知函數f（x）=x²e^-ax（a＞0），求函數在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：對函數f（x）=x²e^-ax，進行求導，解出函數的極值點，然后根據極值點的值判斷函數的單調區間，因區間[1，2]比較大，里面不是單調的增或者間，需要討論，然后代入求解．

解答：解：∵f′（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x）（2分）
令f′（x）＞0，∵e^-ax＞0（3分）
∴-ax²+2x＞0，解得0＜x＜

2

a

（4分）
∴f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）內是減函數，在（0，

2

a

）內是增函數．（6分）
①當0＜

2

a

＜1，即a＞2時，f（x）在（1，2）內是減函數．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（1）=e^-a；（8分）
②當1≤

2

a

≤2，即1≤a≤2時，f（x）在（1，

2

a

）內是增函數，在（

2

a

，2）內是減函數．
∴在[1，2]上fmax（x）=f（

2

a

）=4a^-2e-2；（10分）
③當

2

a

＞2即0＜a＜1時，f（x）在（1，2）是增函數．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（2）=4e^-2a．（12分）
綜上所述，當0＜a＜1時，f（x）在[1，2]上的最大值為4e^-2a；
當1≤a≤2時，f（x）在[1，2]上的最大值為4a^-2e^-2；
當a＞2時，f（x）在[1，2]上的最大值為e^-a．（13分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，此題是一道中檔題；